In forma semplificata, l’equazione dei razzi è
Δv = v(e) * ln [ m(0) / m(f) ]
dove:
Δv è l’incremento di velocità totale richiesto dalla missione.
v(e) è la velocità efficace di uscita del propellente
m(0) è la massa totale iniziale (razzo + propellente + carico utile)
m(f) è la massa totale finale (massa iniziale - massa del propellente consumato)
Definiamo il rapporto di massa R come
R = m(0) / m(f) = exp [ Δv / v(e) ]
Se aggiungiamo 1 kg di carico utile, la massa finale aumenta di 1 kg e per mantenere lo stesso Δv la massa iniziale deve aumentare di R kg. Di conseguenza, la massa aggiuntiva di propellente da imbarcare per ogni kg in più di carico utile è pari a R−1.
Ora vediamo i numeri da inserire nell’equazione.
L’incremento di velocità Δv dipende dal tipo di missione: per un’orbita bassa può andare più o meno da 9,3 a 10 km/s a seconda delle condizioni al contorno.
La velocità di uscita del propellente è funzione di un parametro che si chiama “impulso specifico”, si misura in secondi e dipende sia dal tipo di propellente sia dal fatto di trovarsi in aria o nel vuoto: a seconda dei casi può andare da circa 250 fino a circa 450 secondi.
Ipotizzando un Δv di 9500 m/s e un impulso specifico di 300 s, che corrisponde a una velocità di uscita v(e) di circa 2950 m/s, otteniamo:
R - 1 = exp (9.500 / 2.943) ≈ 24,2 kg
In altre parole, per ogni kg in più di carico utile, bisogna aggiungere oltre 24 kg di propellente per mantenere lo stesso Δv.
Il risultato cambia molto a seconda del Δv e dell’efficienza del motore: per esempio, con un impulso specifico di 400 s e lo stesso Δv di 9500 m/s basterebbero 10 kg in più di propellente.
In ogni caso, devo aggiungere molto più propellente che carico utile. E questi sono valori teorici minimi, perché nella realtà il propellente aggiuntivo può richiedere di introdurre taniche più grandi e strutture rinforzate, che a loro volta richiedono ancora più propellente! È per questo che nell’ambiente spaziale si parla di “tirannia dell’equazione dei razzi”: più propellente ti serve, più propellente devi aggiungere.
In pratica, quando si vede un razzo in rampa di lancio, il carico utile è solo una piccola percentuale della massa complessiva, non superiore al 4%.
Questo vincolo limita al sistema solare le destinazioni che si possono raggiungere in tempi ragionevoli con la propulsione chimica: per immaginare di andare oltre, bisogna pensare a sistemi di propulsione avveniristici. Ma di questo parleremo in un’altra occasione.
(fine)
andrea_ferrero